Soal & Pembahasan Numerik — Deret Angka

Ini adalah deret aritmatika — ciri khasnya selisih antar suku selalu sama. Coba cek satu per satu:

Beda tetapnya d = 2, jadi setiap suku tinggal ditambah 2.

Penyelesaian:

• Identifikasi pola: selisih antar suku konstan, d = 2
• Suku berikutnya: 11 + 2 = 13

Cara Cepat: lihat selisih suku pertama ke kedua, konfirmasi di satu pasang suku lain — kalau sama, langsung tambahkan ke suku terakhir.

Verifikasi: 3, 5, 7, 9, 11, 13 — selisih selalu 2 ✅

Jawaban: B. 13

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 12 — hasil dari 11 + 1, menggunakan d = 1 yang keliru
• C. 14 — hasil dari 11 + 3, menggunakan d = 3 yang keliru
• D. 15 — hasil dari 11 + 4, menggunakan d = 4 yang keliru
• E. 10 — angka yang sudah ada di deret (suku ke-4), bukan suku berikutnya

Cek selisih antar suku berurutan untuk identifikasi tipenya:

Selisihnya konstan — ini deret aritmatika dengan beda d = 7.

Penyelesaian:

• Identifikasi pola: selisih antar suku konstan, d = 7
• Suku berikutnya: 33 + 7 = 40

Cara Cepat: hitung selisih dua suku pertama, verifikasi di satu pasang lain, langsung tambahkan ke suku terakhir.

Verifikasi: 12, 19, 26, 33, 40 — selisih selalu 7 ✅

Jawaban: D. 40

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 37 — berasal dari 33 + 4, menggunakan d = 4 yang keliru
• B. 38 — berasal dari 33 + 5, menggunakan d = 5 yang keliru
• C. 39 — berasal dari 33 + 6, menggunakan d = 6 yang keliru
• E. 42 — berasal dari 33 + 9, menggunakan d = 9 yang keliru

Cek selisih antar suku berurutan:

Selisihnya konstan — ini deret aritmatika dengan beda d = 30.

Penyelesaian:

• Identifikasi pola: selisih antar suku konstan, d = 30
• Suku berikutnya: 140 + 30 = 170

Cara Cepat: dengan beda 30, semua suku berakhiran 0 — suku berikutnya juga harus berakhiran 0. Ini langsung eliminasi pilihan B (165) dan D (175).

Verifikasi: 50, 80, 110, 140, 170 — selisih selalu 30 ✅

Jawaban: C. 170

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 160 — berasal dari 140 + 20, menggunakan d = 20 yang keliru
• B. 165 — berasal dari 140 + 25, menggunakan d = 25 yang keliru
• D. 175 — berasal dari 140 + 35, menggunakan d = 35 yang keliru
• E. 180 — berasal dari 140 + 40, menggunakan d = 40 yang keliru

Selisih antar suku berurutan: −1, +5, −2, +6, −3, +7 — tidak konstan dan tidak jelas polanya kalau dilihat sekaligus. Ini sinyal untuk coba pisah posisi ganjil dan genap.

Tampilkan pemisahan sub-deret:

Ini deret selang-seling dengan dua sub-deret aritmatika.

Penyelesaian:

• Suku ke-8 berada di posisi genap ke-4
• Sub-deret genap: 1, 4, 7, ... dengan d = 3
• Suku ke-4 sub-deret genap: 7 + 3 = 10

Cara Cepat: tentukan posisi suku yang dicari (ke-8 = genap), lanjutkan sub-deret yang sesuai saja — abaikan sub-deret lainnya.

Verifikasi: 2, 1, 6, 4, 10, 7, 14, 10 — sub-deret ganjil: 2,6,10,14 (d=4) ✅ sub-deret genap: 1,4,7,10 (d=3) ✅

Jawaban: D. 10

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 11 — berasal dari 7 + 4, salah ambil beda dari sub-deret ganjil (d=4) bukan sub-deret genap (d=3)
• B. 18 — berasal dari 14 + 4, meneruskan sub-deret ganjil padahal suku ke-8 berasal dari sub-deret genap
• C. 12 — tidak ada dasar perhitungan yang menghasilkan angka ini dalam kedua sub-deret
• E. 17 — tidak ada dasar perhitungan yang menghasilkan angka ini dalam kedua sub-deret

Ada suku hilang di posisi ke-3. Karena deretnya 8 suku dan polanya tidak langsung terlihat, pisah posisi ganjil dan genap dulu:

Ini deret selang-seling — sub-deret ganjil adalah kuadrat bilangan bulat, sub-deret genap adalah aritmatika.

Penyelesaian:

• Suku yang hilang berada di posisi ke-3 (sub-deret ganjil, urutan ke-2)
• Sub-deret ganjil: 1², ?², 3², 4² → suku ke-2 adalah 2^2 = 4

Cara Cepat: posisi ke-3 = sub-deret ganjil urutan ke-2 → langsung hitung 2^2 = 4.

Verifikasi: 1, 5, 4, 10, 9, 15, 16, 20 — sub-deret ganjil: 1,4,9,16 (kuadrat 1²,2²,3²,4²) ✅ sub-deret genap: 5,10,15,20 (d=5) ✅

Jawaban: E. 4

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 3 — tidak ada bilangan yang dikuadratkan menghasilkan 3 dalam urutan ini
• B. 7 — berasal dari 5 + 2, salah sub-deret: meneruskan sub-deret genap bukan ganjil
• C. 6 — tidak ada dasar perhitungan yang menghasilkan angka ini dalam kedua sub-deret
• D. 8 — berasal dari 5 + 3 atau 2 \times 4, tidak sesuai pola kuadrat di sub-deret ganjil

Ada suku hilang di posisi ke-4. Deret 8 suku — pisah posisi ganjil dan genap dulu:

Ini deret selang-seling dua aritmatika. Suku yang hilang berada di posisi ke-4 (sub-deret genap urutan ke-2).

Penyelesaian:

• Sub-deret genap: 1, ?, 5, 7 — cek selisih dari suku yang diketahui: 5 - ? = 2 \Rightarrow ? = 3, dan 7 - 5 = 2\checkmark
• Atau dari kiri: 1 + 2 = 3

Cara Cepat: rata-rata dua suku pengapit: \frac{1 + 5}{2} = 3.

Verifikasi: 5, 1, 10, 3, 15, 5, 20, 7 — sub-deret ganjil: 5,10,15,20 (d=5) ✅ sub-deret genap: 1,3,5,7 (d=2) ✅

Jawaban: D. 3

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 2 — berasal dari 1 + 1, menggunakan d = 1 yang keliru untuk sub-deret genap
• B. 4 — berasal dari 1 + 3, menggunakan d = 3 yang keliru
• C. 6 — berasal dari 5 + 1, meneruskan sub-deret ganjil padahal posisi ke-4 dari sub-deret genap
• E. 8 — tidak ada dasar perhitungan yang menghasilkan angka ini dalam kedua sub-deret

Ada suku hilang di posisi ke-3. Deret 6 suku — pisah posisi ganjil dan genap:

Ini deret selang-seling — sub-deret ganjil geometri (r=3), sub-deret genap aritmatika (d=4). Suku yang hilang berada di posisi ke-3 (sub-deret ganjil urutan ke-2).

Penyelesaian:

• Sub-deret ganjil: 2, ?, 18 dengan r = 3
• Suku ke-2: 2 \times 3 = 6
• Verifikasi dari kanan: 18 \div 3 = 6\checkmark

Cara Cepat: rata-rata geometri dua suku pengapit: \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6.

Verifikasi: 2, 4, 6, 8, 18, 12 — sub-deret ganjil: 2,6,18 (r=3) ✅ sub-deret genap: 4,8,12 (d=4) ✅

Jawaban: E. 6

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 5 — tidak ada dasar perhitungan yang menghasilkan angka ini dalam kedua sub-deret
• B. 7 — tidak ada dasar perhitungan yang menghasilkan angka ini dalam kedua sub-deret
• C. 10 — berasal dari 4 + 6, menjumlahkan suku ganjil dan genap yang berdekatan — bukan cara yang valid
• D. 12 — berasal dari 4 \times 3, menghitung dari suku genap padahal posisi ke-3 dari sub-deret ganjil

Selisih antar suku berurutan: 1, 2, 2, 3, 5, 2, 14 — tidak beraturan sama sekali. Hipotesis pola tunggal gugur. Lanjut ke hipotesis selang-seling.

Pisah posisi ganjil dan genap:

Sub-deret genap langsung teridentifikasi: geometri r = 2. Fokus ke sub-deret ganjil.

Selisih lapis-1 sub-deret ganjil: 6-3=3,\quad 11-6=5,\quad 18-11=7 — bertambah 2 setiap langkah. Ini deret bertingkat, selisih lapis-2 = 2 (konstan).

Penyelesaian:

• Suku ke-9 berada di posisi ganjil ke-5 → dari sub-deret ganjil
• Selisih lapis-1 berikutnya: 7 + 2 = 9
• Suku ke-5 sub-deret ganjil: 18 + 9 = 27

Cara Cepat: begitu sub-deret genap teridentifikasi sebagai geometri r=2, abaikan dan fokus ke sub-deret ganjil saja. Tulis L1-nya (3,5,7,...) dan L2 konstan (+2) → L1 berikutnya 9 → tambahkan ke suku terakhir sub-ganjil.

Verifikasi: sub-deret ganjil: 3, 6, 11, 18, 27 — L1: 3,5,7,9 (d=2) ✅ sub-deret genap: 4,8,16,32 (r=2) ✅

Jawaban: C. 27

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 23 — berasal dari 18 + 5, mengulang L1 sebelumnya (5) bukan L1 yang sudah diperbarui (9)
• B. 26 — berasal dari 18 + 8, menggunakan L1 = 8 (salah hitung L2)
• D. 28 — berasal dari 18 + 10, menggunakan L1 = 10 (L2 dianggap naik 3 bukan 2)
• E. 64 — berasal dari 32 \times 2, meneruskan sub-deret genap padahal suku ke-9 masuk sub-deret ganjil

Tidak ada pola langsung yang terlihat. Mulai dari selisih lapis-1 (L1):

L1: 9-5=4,\quad 15-9=6,\quad 24-15=9,\quad 38-24=14,\quad 59-38=21

L1 = 4, 6, 9, 14, 21 — tidak konstan. Lanjut ke selisih lapis-2 (L2):

L2: 6-4=2,\quad 9-6=3,\quad 14-9=5,\quad 21-14=7

L2 = 2, 3, 5, 7 — ini empat bilangan prima pertama! Inilah pola tersembunyi yang harus diintegrasikan.

Cek: L2 bukan deret aritmatika (selisih 1, 2, 2 — tidak konstan), melainkan deret prima berurutan (2, 3, 5, 7, 11, ...).

Penyelesaian:

• Prima ke-5 setelah 7: bukan 8 (genap), bukan 9 (=3×3), bukan 10 (genap) → 11
• L1 berikutnya: 21 + 11 = 32
• Suku ke-7: 59 + 32 = 91

Cara Cepat: tulis L1 (4,6,9,14,21), tulis L2 (2,3,5,7), kenali sebagai prima → prima ke-5 adalah 11 → L1 berikutnya 21+11=32 → suku berikutnya 59+32=91.

Verifikasi: 5, 9, 15, 24, 38, 59, 91 — L1: 4,6,9,14,21,32 | L2: 2,3,5,7,11 (prima berurutan) ✅

Jawaban: D. 91

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 87 — berasal dari 59 + 28, mengira L2 berikutnya adalah 7 (mengulang prima ke-4) bukan 11
• B. 88 — berasal dari 59 + 29, mengira L2 bertambah tetap 2 sehingga 7+2=9, lalu 21+9=30, tapi 9 bukan prima
• C. 89 — berasal dari 59 + 30, salah menghitung L1 berikutnya sebagai 30 bukan 32
• E. 93 — berasal dari 59 + 34, menggunakan prima ke-6 (13) alih-alih prima ke-5 (11), melewatkan satu langkah

Selisih antar suku: 3, −1, 6, −2, 9, −1, 10 — tidak beraturan. Pisah posisi ganjil dan genap.

Sub-deret genap: 4=2², 9=3², 16=4², 25=5² — deret kuadrat bilangan bulat mulai dari 2. Sub-deret ganjil: 1, 3, 7, 15 — selisihnya 2, 4, 8 (geometri r=2). Selisih berikutnya: 8×2=16, sehingga suku berikutnya 15+16=31.

Verifikasi pola sub-ganjil: 1=2^1-1,\quad 3=2^2-1,\quad 7=2^3-1,\quad 15=2^4-1,\quad 31=2^5-1 — pola 2ⁿ−1 terkonfirmasi!

Penyelesaian:

• Suku ke-9 berada di posisi ganjil ke-5 → dari sub-deret ganjil
• A₅ = 2⁵ − 1 = 32 - 1 = 31

Cara Cepat: sub-ganjil adalah 2ⁿ−1, posisi ke-5 → 2⁵−1=31. Atau: selisih sub-ganjil (2,4,8) berlipat dua → selisih berikutnya 16 → 15+16=31.

Verifikasi: Ganjil: 1,3,7,15,31 (2ⁿ−1) ✅ | Genap: 4,9,16,25 (kuadrat) ✅

Jawaban: C. 31

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 28 — berasal dari 15+13 atau estimasi salah selisih sub-ganjil
• B. 30 — berasal dari 15 + 15, mengulangi selisih terakhir sub-ganjil (8) lalu menambah 7 — tidak konsisten
• D. 32 — berasal dari 2⁵=32, mengira polanya 2ⁿ bukan 2ⁿ−1
• E. 36 — berasal dari 6²=36, melanjutkan sub-genap padahal suku ke-9 masuk sub-ganjil