Soal & Pembahasan Numerik - Soal Cerita

Ini adalah soal persentase dasar: cari nilai bagian. Kita tahu total dan persentasenya, tinggal kalikan keduanya.

Diketahui:

• Total peserta = 200 orang
• Persentase lulus = 35%

Penyelesaian:

Langkah 1: Kalikan total peserta dengan persentase lulus: \text{Lulus} = 35\% \times 200 = \frac{35}{100} \times 200 = 70 \text{ orang}

Cara Cepat: Persen × Total ÷ 100. Langsung: 35 × 200 ÷ 100 = 70.

Verifikasi: 70 ÷ 200 × 100% = 35% ✅

Jawaban: C. 70 orang

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 35 orang: langsung menggunakan nilai persentase sebagai jawaban tanpa mengalikannya dengan total peserta
• B. 60 orang: salah membaca persentase, menggunakan 30% bukan 35%
• D. 130 orang: menghitung jumlah yang tidak lulus (200 \times 65\%), bukan yang lulus
• E. 165 orang: mengurangi nilai persentase dari total secara langsung (200 − 35), bukan mengalikannya

Ini adalah soal kecepatan dasar: cari kecepatan. Gunakan rumus v = s ÷ t langsung ke angka yang tersedia.

Diketahui:

• Jarak (s) = 240 km
• Waktu (t) = 3 jam

Penyelesaian:

Langkah 1: Terapkan rumus kecepatan: v = \frac{s}{t} = \frac{240}{3} = 80 \text{ km/jam}

Cara Cepat: v = s ÷ t. Langsung: 240 ÷ 3 = 80.

Verifikasi: 80 km/jam × 3 jam = 240 km ✅

Jawaban: D. 80 km/jam

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 60 km/jam: hasil dari 240 \div 4, menggunakan waktu 4 jam bukan 3 jam
• B. 70 km/jam: tidak ada kombinasi s dan t yang valid dari soal menghasilkan angka ini
• C. 75 km/jam: tidak ada kombinasi s dan t yang valid dari soal menghasilkan angka ini
• E. 90 km/jam: hasil dari 270 \div 3, menggunakan jarak 270 km bukan 240 km

Ini adalah soal umur dasar: cari umur dari selisih. Karena kakak lebih tua, umur kakak = umur adik + selisih.

Diketahui:

• Selisih umur kakak dan adik = 8 tahun
• Umur adik = 15 tahun

Penyelesaian:

Langkah 1: Umur kakak = umur adik + selisih: \text{Umur kakak} = 15 + 8 = 23 \text{ tahun}

Cara Cepat: Kakak lebih tua → tambah. Umur kakak = 15 + 8 = 23.

Verifikasi: 23 − 15 = 8 tahun (selisih sesuai soal) ✅

Jawaban: C. 23 tahun

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 7 tahun: mengurangi selisih dari umur adik (15 - 8 = 7), seolah kakak lebih muda dari adik
• B. 15 tahun: menjawab umur adik yang sudah diketahui, bukan umur kakak yang ditanya
• D. 24 tahun: salah baca selisih, menggunakan 9 tahun bukan 8 tahun (15 + 9 = 24)
• E. 30 tahun: menggandakan umur adik (15 \times 2 = 30) alih-alih menambahkan selisih 8 tahun

Diketahui:

• Modal awal (P): Rp10.000.000
• Bunga per tahun (r): 10% = 0,10
• Periode (n): 2 tahun
• Sistem: bunga majemuk (bunga berbunga)
• Ditanya: total uang setelah 2 tahun

Perbedaan kunci: bunga sederhana selalu dihitung dari modal awal, sedangkan bunga majemuk dihitung dari saldo terkini: termasuk bunga tahun sebelumnya.

Penyelesaian:

Rumus bunga majemuk: A = P \times (1 + r)^n

A = 10.000.000 \times (1 + 0{,}10)^2 = 10.000.000 \times 1{,}21 = 12.100.000

Cara Bertahap: Lebih mudah dipahami:

• Akhir tahun 1: 10.000.000 + 10\% \times 10.000.000 = 11.000.000
• Akhir tahun 2: 11.000.000 + 10\% \times 11.000.000 = 12.100.000

Bunga tahun ke-2 = Rp1.100.000 (lebih besar dari tahun ke-1 = Rp1.000.000) karena dihitung dari saldo yang sudah bertumbuh.

Jawaban: C. Rp12.100.000

Mengapa pilihan lain salah:

• A. Rp11.000.000: hanya menghitung satu tahun bunga, bukan dua tahun.
• B. Rp11.500.000: menghitung bunga sederhana dua tahun kemudian dibagi dua: 10.000.000 + 2 \times 10\% \times 10.000.000 = 12.000.000, salah jalur hitung.
• D. Rp12.000.000: menggunakan bunga sederhana dua tahun: 10.000.000 \times (1 + 0{,}10 \times 2) = 12.000.000. Bunga tahun ke-2 tidak ikut berbunga.
• E. Rp12.200.000: menjumlah bunga dua tahun masing-masing 10% dari 10 juta lalu menambah Rp200.000 ekstra yang tidak ada dasarnya.

Diketahui:

• Kecepatan hilir (searah arus): 18 km/jam
• Kecepatan hulu (melawan arus): 6 km/jam
• Ditanya: kecepatan arus sungai

Hubungan antara variabel:

• v_{\text{hilir}} = v_{\text{sampan}} + v_{\text{arus}}
• v_{\text{hulu}} = v_{\text{sampan}} - v_{\text{arus}}

Penyelesaian:

Cara Cepat: Kurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi v_sampan:

v_{\text{arus}} = \frac{v_{\text{hilir}} - v_{\text{hulu}}}{2} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ km/jam}

Bonus: Kecepatan sampan di air tenang:

v_{\text{sampan}} = \frac{v_{\text{hilir}} + v_{\text{hulu}}}{2} = \frac{18 + 6}{2} = 12 \text{ km/jam}

Verifikasi: 12 + 6 = 18 (hilir ✅), 12 - 6 = 6 (hulu ✅)

Jawaban: C. 6 km/jam

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 2 km/jam: tidak ada dasar rumus untuk hasil ini. Kemungkinan dari pembagian angka secara acak.
• B. 4 km/jam: mungkin dari \frac{18 - 6}{3} = 4, membagi dengan 3 bukan 2. Rumus kecepatan arus selalu menggunakan pembagi 2.
• D. 12 km/jam: ini kecepatan sampan di air tenang, bukan kecepatan arus: \frac{18+6}{2} = 12. Rumus yang dipakai benar tapi menjawab variabel yang salah.
• E. 18 km/jam: menjawab kecepatan hilir langsung dari soal. Kecepatan hilir sudah terbantu arus, nilainya lebih besar dari kecepatan arus sendiri.

Diketahui:

• Harga asal: Rp8.000.000
• Cashback (potongan flat): Rp800.000
• PPN: 11%: dihitung dari harga setelah cashback, bukan dari harga asal
• Ditanya: total yang dibayar

Kunci soal ini ada di urutan operasi. Karena cashback berupa nilai flat, potongan harus diterapkan dulu baru PPN dihitung dari harga hasil potongan.

Penyelesaian:

Langkah 1: Harga setelah cashback:

8.000.000 - 800.000 = \text{Rp}7.200.000

Langkah 2: PPN 11% dihitung dari harga setelah cashback:

7.200.000 \times 11\% = \text{Rp}792.000

Langkah 3: Total yang dibayar:

7.200.000 + 792.000 = \text{Rp}7.992.000

Verifikasi: Cashback Rp800.000 membuat harga jadi Rp7.200.000, lalu PPN 11% menambah Rp792.000 → total Rp7.992.000 ✅

Jawaban: C. Rp7.992.000

Mengapa pilihan lain salah:

• A. Rp7.200.000: berhenti di Langkah 1, lupa menambahkan PPN. Harga sudah dipotong cashback tapi belum dikenai pajak.
• B. Rp7.832.000: PPN dihitung dari cashback saja bukan dari harga setelah cashback: 8.000.000 - 800.000 - 800.000 \times 11\% = 7.200.000 - 88.000 = 7.112.000. Tidak ada dasar untuk mengenakan PPN hanya pada nilai cashback.
• D. Rp8.000.000: menjawab harga asal tanpa mengerjakan apapun. Baik cashback maupun PPN diabaikan.
• E. Rp8.880.000: urutan operasi terbalik: PPN dihitung dari harga asal dulu baru dikurangi cashback: 8.000.000 \times 1{,}11 - 800.000 = 8.880.000 - 800.000 = 8.080.000... atau langsung 8.000.000 \times 1{,}11 = 8.880.000 tanpa potongan sama sekali. Soal menyatakan PPN dari harga setelah cashback.

Diketahui:

• Harga awal: Rp4.000.000
• Diskon pertama: 15%
• Diskon kedua: 10%: dihitung dari harga setelah diskon pertama
• Ditanya: harga akhir setelah dua diskon

Diskon bertingkat tidak bisa dijumlah. Diskon 15% + 10% bukan diskon 25% karena dasar perhitungan diskon kedua sudah berbeda (lebih kecil).

Penyelesaian:

Cara Cepat: Kalikan langsung kedua faktor ke harga awal:

4.000.000 \times (1 - 15\%) \times (1 - 10\%) = 4.000.000 \times 0{,}85 \times 0{,}9 = 4.000.000 \times 0{,}765 = \text{Rp}3.060.000

Cara Standar: Dua langkah berurutan:

Langkah 1: Harga setelah diskon 15%:

4.000.000 \times 0{,}85 = \text{Rp}3.400.000

Langkah 2: Harga setelah diskon 10% dari Rp3.400.000:

3.400.000 \times 0{,}9 = \text{Rp}3.060.000

Verifikasi: Diskon efektif total = \frac{4.000.000 - 3.060.000}{4.000.000} \times 100\% = \frac{940.000}{4.000.000} = 23{,}5\%, bukan 25% ✅

Jawaban: D. Rp3.060.000

Mengapa pilihan lain salah:

• A. Rp2.800.000: menjumlahkan kedua diskon menjadi 25% dan mengurangi dari harga awal: 4.000.000 \times 0{,}75 = 3.000.000... tidak menghasilkan 2.800.000. Atau menghitung diskon 30%: 4.000.000 \times 0{,}7 = 2.800.000. Tidak ada dasar untuk menggunakan 30%.
• B. Rp3.000.000: menjumlah diskon menjadi 25%: 4.000.000 \times (1 - 25\%) = 3.000.000. Diskon bertingkat tidak bisa dijumlahkan karena basis perhitungannya berbeda.
• C. Rp3.040.000: menghitung diskon kedua dari harga asal, bukan dari harga setelah diskon pertama: 4.000.000 \times 15\% = 600.000 dan 4.000.000 \times 10\% = 400.000, total diskon 1.000.000, sisa = 3.000.000. Tidak juga menghasilkan 3.040.000: kemungkinan kesalahan hitung lain.
• E. Rp3.400.000: hanya menerapkan diskon pertama (15%), lupa diskon kedua: 4.000.000 \times 0{,}85 = 3.400.000. Berhenti di Langkah 1.

Diketahui:

• Kapal feri: berangkat 07.00 @ 40 km/jam, melambat ke 20 km/jam mulai pukul 09.00
• Kapal cepat: berangkat 08.00 @ 60 km/jam
• Ditanya: posisi saat kapal cepat menyusul kapal feri

Soal ini punya dua fase karena kecepatan feri berubah di tengah perjalanan. Kuncinya: hitung posisi kedua kapal tepat saat feri melambat (09.00), lalu cari kapan kapal cepat menutup sisa jarak.

Penyelesaian:

Fase 1: Posisi masing-masing pukul 09.00:

• Kapal feri (sudah jalan 2 jam): 40 \times 2 = 80 \text{ km dari Merak}
• Kapal cepat (sudah jalan 1 jam sejak 08.00): 60 \times 1 = 60 \text{ km dari Merak}
• Selisih jarak (gap): 80 - 60 = 20 \text{ km}

Fase 2: Setelah 09.00, misalkan t = jam setelah 09.00:

• Posisi kapal feri: 80 + 20t
• Posisi kapal cepat: 60 + 60t

Saat menyusul:

60 + 60t = 80 + 20t \Rightarrow 40t = 20 \Rightarrow t = 0{,}5 \text{ jam}

Posisi penyusulan:

60 + 60 \times 0{,}5 = 60 + 30 = \mathbf{90} \text{ km dari Merak}

Verifikasi: Posisi feri = 80 + 20 \times 0{,}5 = 90 km ✅ → kedua kapal bertemu di 90 km pada pukul 09.30.

Jawaban: C. 90 km

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 60 km: mengambil posisi kapal cepat saat feri mulai melambat (09.00) seolah itu titik penyusulan. Pada saat itu kapal cepat di 60 km, feri di 80 km: belum menyusul.
• B. 80 km: mengambil posisi feri saat melambat (09.00) sebagai titik temu. Kapal cepat baru di 60 km pada 09.00, masih tertinggal 20 km.
• D. 100 km: menghitung gap (20 km) dibagi kecepatan penuh kapal cepat (60 km/jam) = 1/3 jam, lalu menambahkan ke posisi kapal cepat saat 09.00: 60 + 60×(1/3) = 80 km. Lupa bahwa feri masih bergerak @ 20 km/jam, sehingga kecepatan penutupan gap sebenarnya 40 km/jam, bukan 60.
• E. 120 km: mengira feri tidak pernah melambat dan terus @ 40 km/jam: posisi pertemuan = 80 + 40t = 60 + 60t → t = 1 jam → 60 + 60 = 120 km. Perlambatan feri mulai 09.00 diabaikan.

Diketahui:

• Panen: barisan geometri, suku pertama 20 kg, rasio r = 3
• Harga jual: barisan aritmatika, suku pertama Rp50.000/kg, beda d = −Rp15.000
• Ditanya: pendapatan tertinggi dalam satu bulan

Pendapatan tiap bulan = hasil kali dua barisan yang berlawanan arah: panen naik (geometri), harga turun (aritmatika). Tidak ada rumus tunggal untuk menemukan maksimumnya; harus dihitung dan dibandingkan setiap bulan satu per satu.

Penyelesaian:

Langkah 1: Susun panen dan harga per bulan:

• Panen bulan ke-n: P_n = 20 \times 3^{n-1}
• Harga bulan ke-n: H_n = 50.000 - 15.000(n-1)

Langkah 2: Hitung pendapatan tiap bulan hingga harga masih positif:

Langkah 3: Identifikasi puncak pendapatan:

Pendapatan naik dari bulan 1 ke 3, lalu turun tajam di bulan 4. Pendapatan tertinggi ada di bulan ke-3: 180 \times 20.000 = \text{Rp}3.600.000

Verifikasi: Bulan 3 > Bulan 2 (3.600.000 > 2.100.000) ✅ dan Bulan 3 > Bulan 4 (3.600.000 > 2.700.000) ✅ → bulan ke-3 adalah puncak.

Jawaban: C. Rp3.600.000

Mengapa pilihan lain salah:

• A. Rp1.000.000: hanya menghitung bulan pertama dan langsung berhenti: 20 \times 50.000 = 1.000.000. Pendapatan terus naik hingga bulan ke-3; perlu memeriksa seluruh periode valid.
• B. Rp2.100.000: berhenti di bulan ke-2 tanpa memeriksa bulan ke-3: 60 \times 35.000 = 2.100.000. Meski harga sudah turun, lonjakan panen di bulan ke-3 masih cukup besar untuk melampaui bulan ke-2.
• D. Rp2.700.000: mengambil pendapatan bulan ke-4 sebagai maksimum karena volumenya paling besar. Namun harga sudah sangat rendah (Rp5.000/kg) sehingga pendapatannya justru lebih kecil dari bulan ke-3.
• E. Rp5.400.000: menggunakan panen bulan ke-4 (540 kg) dengan harga bulan ke-3 (Rp20.000/kg): 540 \times 20.000 = 10.800.000... atau mengira harga bulan ke-3 adalah Rp30.000: 180 \times 30.000 = 5.400.000. Harga bulan ke-3 adalah Rp20.000, bukan Rp30.000.

Diketahui:

• Drone 1: berangkat 08.00 @ 50 km/jam, melambat ke 20 km/jam mulai pukul 10.00
• Drone 2: berangkat 09.00 @ 60 km/jam
• Ditanya: posisi saat drone 2 menyusul drone 1

Soal ini punya dua fase karena kecepatan drone 1 berubah. Kuncinya: hitung posisi kedua drone tepat saat mode hemat daya aktif (10.00), lalu cari kapan drone 2 menutup sisa jarak.

Penyelesaian:

Fase 1: Posisi masing-masing pukul 10.00:

• Drone 1 (jalan 2 jam @ 50): 50 \times 2 = 100 \text{ km}
• Drone 2 (jalan 1 jam @ 60): 60 \times 1 = 60 \text{ km}
• Gap: 100 - 60 = 40 \text{ km}

Fase 2: Setelah 10.00, t = jam setelah 10.00:

60 + 60t = 100 + 20t \Rightarrow 40t = 40 \Rightarrow t = 1 \text{ jam}

Posisi penyusulan:

60 + 60 \times 1 = \mathbf{120} \text{ km dari gudang}

Verifikasi: Drone 1: 100 + 20 \times 1 = 120 km ✅ → kedua drone bertemu di 120 km pukul 11.00.

Jawaban: C. 120 km

Mengapa pilihan lain salah:

• A. 60 km: posisi drone 2 saat mode hemat aktif (10.00). Saat itu drone 1 masih di 100 km; belum ada penyusulan.
• B. 100 km: posisi drone 1 saat melambat (10.00). Drone 2 baru di 60 km, masih tertinggal 40 km.
• D. 140 km: menghitung gap (40 km) dibagi kecepatan drone 2 saja (60) = 2/3 jam, lalu ditambahkan ke posisi drone 2: 60 + 60×(2/3) = 100 km. Tidak menggunakan kecepatan relatif; drone 1 masih bergerak @ 20 km/jam setelah 10.00.
• E. 160 km: mengira drone 1 tidak pernah melambat dan terus @ 50 km/jam: 60 + 60t = 100 + 50t \Rightarrow t = 4 \Rightarrow 60 + 240 = 300 km. Atau mengira gap awal dihitung saat drone 2 berangkat (09.00) dengan drone 1 sudah @ 20: 50 km gap, kecepatan relatif 40, t=1,25 → 60×1,25+60=135... berbagai jalur yang salah.